Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan Real - Pada Bab ini memuat materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus, beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review di masa SMA, namun demikian ada pula beberapa yang relative masih baru, dan akan sedikit memberikan konsep yang lebih mendalam kepada para pembaca.
Materi Yang Dipelajari dalam Sistem Bilangan Real
1.5. Pertidaksamaan
1.6. Nilai Mutlak (Absolute Value)
1.7. Selang (Interval)
1.1. Penjelasan Sistem Bilangan Real
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur unsur dalam kehidupan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi ∅ atau {}.
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∈ S dan dibaca "a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∉ S dan dibaca "a bukan elemen S".
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggolanya. Sebagai contoh, himpunan d yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai :
A=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggolaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:
Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A ⊂ B, jika setiap anggota merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa ∅ ⊂ A untuk sebarang himpunan A.
Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpuran bilangan yang dipandang cukup penting.
Himpunan semua bilangan asli adalah N={1,2,3, ...} Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya x + y ∈ N dan x.y ∈ N untuk setiap x,y ∈ N. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilargan Bulat, ditulis dengan notasi Z,
Z = { ...,-3,-2-1,0,1,2,3,... }
Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q.
b tidak boleh sama dengan 0 (nol) b ≠ 0.
Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah √2 dan Bilangan √2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing masing adalah 1 (lihat Gambar 1.1.1)
Sedangkan bilangan π merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diametenya (gambar 1.1.2)
Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real scringkali digunakan cara desimal.
Sebagai contoh, bilangan-bilangan ¾, 5/3, 7/66 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai (0,75) (1,666...) dan 0,1060606.... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut
i. Berhenti ¾, 5/3, 7/66, dst atau
ii. berulang beraturan 5/3, 7/66, dst
Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:
√2 = 1,414213
π = 3,14159....
1.2 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan real a, b, c, dan d berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Sifat komulatif
(i) a + b = b + a
2. Sifat asosiatif
(i) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
(ii) a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c
3. Sifat distibutif
(i) a.(b + c) = (a.b) + (a.c)
4. (i) a/b = a(1/b), b ≠ 0
(ii) a/b + c/d = ( (c.d) + (b.c) )/(b.d), b ≠ 0, d ≠ 0
(iii) a/b . c/d = (a.c)/(b.d), b ≠ 0, d ≠ 0
5. (i) a.(-b) = (-a).b = -(a.b)
(ii) (-a).(-b) = ab
(iii) –(-a) = a
6. (i) 0/a untuk setiap bilangan a ≠ 0.
(ii) a/0 Tak terdefinisi
(iii) a/a = 1, Untuk setiap bilangan a ≠ 0
7. Hukum kanselasi
(i). Jika a.c = b.c dan c ≠ 0 maka a = b.
(ii). Jika b,c ≠ 0 maka ( (a.c)/(b.c) ) = a/b
Jika a.b = 0 maka a =
0 atau b = 0
1.3 Relasi Urutan
Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan
bagian tak kosong yang saling asing:
(i). Himpunan semua bilangan real positif;
(ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota;
dan
(iii). Himpunan semua bilangan real negative
Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang
dari b (ditulis a <b) jika b - a positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b
(ditulis a> b) jika b<a. Sebagai contoh, 2<5 dan 3> -1. Mudah
ditunjukkan bahwa:
a. Bilangan a positif jika dan hanya jika a>0.
b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika a <0.
Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis a≤b.
Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka ditulis a ≥ b. Sedangkan a < b
< c dimaksudkan sebagai a < b dan b < c. Artinya b antara a dan c.
Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk
sebarang bilangan real a, b, dan c:
1. Jika a ≤ b maka a
+ c ≤ b + c untuk setiap bilangan real c
2. Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c.
3. a. Jika a ≤ b dan c > 0 maka a.c ≤ b.c
b. Jika a ≤ b dan c <0 maka a.c ≥ b.c
4. Jika a > 0 maka ¼ > 0.
b.Jika 0 < a ≤ b maka 1/b ≤ 1/a
5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:
a < b, a = b atau a > b
6. Jika a,b ≥ 0 maka a ≤ b ó
a2 < b2 ó
√a ≤ √b
Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real
4/
5
Oleh
zedukasi
EmoticonEmoticon