√ Logaritma : Pengertian, Sifat, Persamaan, Pertidaksamaan Logaritma

Monday, September 9, 2019

Sebelum belajar tentang sifat sifat logaritma lebih baiknya kita mengetahui terlebih dahulu apa itu logaritma. Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Maksudnya jika a^c = b, Jika dinyatakan dalam logaritma maka seperti ini : ^alog b = c. Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 0

a^c = b ó ^alog b = c (syarat : a > 0 dan a ≠ 0)

Dalam penulisan logaritma ^alog b = c, a biasanya disebut dengan bilangan pokok dan untuk b biasa disebut dengan bilangan numerus atau bilangan yang kita cari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil dari logaritma. Jika bilangan pokok tidak dituliskan dalam logaritma, nilai a = 10, karena biasanya dalam penulisan logaritma nilai 10 tidak pernah dituliskan di dalam logaritma. Atau lebih jelasnya lihat bawah ini.

log b = c ó ¹⁰log b = c

a = basis atau bilangan pokok

b = hasil atau range logaritma

c = numerus atau domain logaritma

Tapi dalam kita belajar ilmu komputer atau yang berhubungan dengan bahasa pemrograman log b = c sama halnya dengan ²log b = c. Karena kita belajar dalam bidang matematika maka kita menggunaan ¹⁰log b = c.

Nah jika bilangan pokok merupakan bilangan eurel (e) dengan e = 2,718281828 maka kita menulis menggunakan logaritma natural (ln). Misal ^elog b = c maka dapat kita tulis dengan ln b = c

^elog b = c óln b = c

Contoh Contoh Logaritma

Perpangkatan	Logaritma
2¹ = 2	²log 2 = 1
2⁰ = 1	²log 1 = 0
4⁰ = 1	²log 8 = 3
4^-3 = 1/64	²log (1/8) = -3
10⁴ = 10000	log 10000 = 4
9^3/4 = 3√3	⁹log 3√3 = 3/4

Sifat Logaritma

Dalam mengerjakan soal soal logaritma kita harus tahu sifat sifat logaritma agar dapat dengan menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan logaritma. Terdapat banyak sifat sifat logaritma, tapi terdapat 11 yang paling sering digunakan dalam pengerjaan soal. Berikut Sifat sifat logaritma yang harus kalian tahu.

Rumus Identitas Logaritma

1. ^alog a = 1 <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1)

2. ^alog 1 = 0 <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1)
3. ^alog aⁿ = n <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1)

Sifat - Sifat Logaritma

3. ^{a^n}log b^m = (m/n) x ^alog b <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

4. ^{a^m}log b^m = ^alog b <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

5. ^alog b = 1/^blog a <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1)

6. ^alog b = (^mlog b)/(^mlog a) <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

7. a^{1^alog b} = b <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

8. ^alog b + ^alog c = ^alog (bc) <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

9. ^alog b – ^alog c = ^alog (b/c) <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

10. ^alog b.^blog c = ^alog c <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1)

11. ^alog (b/c) = -^alog (c/b) <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
12. ^alog b.c = ^alog b + ^alog c <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
13. ^alog (b/c) = ^alog b - ^alog c <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
14. ^alog bⁿ = n.^alog b <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
15. ^{a^p}log b = (1/p)^alog b <=========== Syarat (a > 0, a ≠ 1)

Nah intinya yang harus kalian hafalkan untuk kalian gunakan dalam mengerjakan sebagai berikut ini.

1. ^alog xy = ^alog x + ^alog y

2. ^alog (x/y)=^alog x – ^alog y

3. ^alog xⁿ = n^alog x

4. ^alog x = (^plog x)/(^plog a) = 1/(^xlog a)

5. a^{alog x} = x

6. ^alog x.^xlog b = ^alog b

7. ^alog a = 1

8. ^alog 1 = 0

Contoh Soal Penggunaan Sifat Logaritma

Untuk lebih mendalam belajar mengenai materi logaritma, saya akan berikan sedikit penggunaan dari sifat sifat logaritma yang telah kami jelaskan diatas.

Contoh Soal :
1. ²log 8 + ²log 16
2. log 10 + log 100
3. [(³log 2 * ⁴log 27 + ³log 81)/ (²log 12 - ²log 6)]²

Jawab :
1. ²log 8 + ²log 16
Jawab :
- ²log 8 + ²log 16 = ²log 8 * 16 = ²log 128 = 7
atau dengan
- ²log 8 + ²log 16 = 3 + 4 = 7

2. log 2 + log 100
Jawab:
log 10 + log 100 = log 10 * 100 = log 10³ = 3
Atau
log 10 + log 100 = 1 + 2 = 3

3. (³log 2 * ⁴log 27 + ³log 81)/ (²log 12 - ²log 6)]²Jawab :
(³log 2 * ⁴log 27 + ³log 81)/ (²log 12 - ²log 6)]²

= [(³log 2 * ^{2^2}log 3³ + ³log 3⁴)/ (²log (12/6) )]²

=[(³log 2 * 3/2 * ²log 3 + 4)/ (²log 2 )]²

= [( 3/2 * ³log 2 * ²log 3 + 4)/ 1 ]²

= [3/2 * ³log 2 + 4]²

= (11/2)²

= 121/4

Rumus Persamaan Logaritma

1. jika ^alog f(x) = ^alog g(x) dengan syarat a > 0, a ≠ 1,

maka Penyeleasian f(x) = g(x) f(x) > 0, g(x) > 0.

2. Bentuk ^alog f(x) = ^blog f(x)

^alog f(x) = ^blog f(x), dengan syarat a, b > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1

3. Bentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)

^h(x)log f(x) = ^h(X)log g(x), dengan syarat h(x) > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) ≠ 1.

4. jika ^alog f(x) = ^alog m dengan syarat a > 0, a ≠ 1,

maka Penyeleasian f(x) = m f(x) > 0,

Rumus Pertidaksamaan Logaritma

Syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
Solusi Umum :

Pertama, saat a > 1,
^alog f(x) > ^alog g(x) Solusinya f(x) > g(x)
^alog f(x) ≥ ^alog g(x) Solusinya f(x) ≥ g(x)
^alog f(x) < ^alog g(x) Solusinya f(x) < g(x)
^alog f(x) ≤ ^alog g(x) Solusinya f(x) ≤ g(x)

Kedua, saat 0 < a < 1 maka f(x) < g(x)
^alog f(x) > ^alog g(x) Solusinya f(x) < g(x)
^alog f(x) ≥ ^alog g(x) Solusinya f(x) ≤ g(x)
^alog f(x) < ^alog g(x) Solusinya f(x) > g(x)
^alog f(x) ≤ ^alog g(x) Solusinya f(x) ≥ g(x)

Contoh Soal Pertidaksamaan Logaritma

1. ^1/3log (x + √3) + ^1/3log (x - √3) > 0
Jawab :
^1/3log (x + √3) + ^1/3log (x - √3) > 0
⇔ ^1/3log (x + √3)(x - √3) > ^1/3log (1/3)⁰
⇔ ^1/3log (x² - 3) > ^1/3log 1
Diperoleh a = 1/3, f(x) = x² - 3 dan g(x) = 1;
Nilai a = 1/3 (0 < a < 1) sehingga berlaku,
f(x) < g(x)
⇔ x² - 3 < 1
⇔ x² - 4 < 0
⇔ (x - 2)(x + 2) < 0

Buat Garis Bilangan
Nanti Hp1 = {x ∈ R | -2 < x < 2} (disini belum solusi karena harus cek syarat lagi)

Cek syarat f(x) > 0
f(x) > x² - 3
x² - 3 > 0
x > ±√3
Hp2 = {x ∈ R | x > √3 dan x > -√3}

Maka Irisan dari Hp1 dan Hp2 = {x ∈ R | √3 < x < 2}

√ Logaritma : Pengertian, Sifat, Persamaan, Pertidaksamaan Logaritma

4/ 5

Oleh zedukasi

Ditulis zedukasi Pada September 09, 2019 Komentar

Omah Jenius

Monday, September 9, 2019